Die Inkompetenz der Kompetenzexperten

Die „standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung“ aus dem Fach Mathematik ist vorbei. Direktor Meinhard Trummer vom Akademischen Gymnasium zeigt sich, wie er der Zeitung „Die Presse“ mitteilte, zufrieden: Es sei gut gelaufen und „machbar gewesen“. Das ist allerdings das Mindeste, was man von zentral gestellten Aufgaben erwarten sollte: dass sie, in Trummers Worten, „machbar“ sind. Im gleichen „Presse“-Artikel brachte ein Maturant die Sachlage lakonisch auf den Punkt: „Teil 1 war geschenkt“. Und eine Maturantin ergänzte: „Das hat das BIFIE sicherlich auch so beabsichtigt, um nicht schlecht dazustehen.“

Tatsächlich war der erste Teil der schriftlichen Reifeprüfung aus Mathematik ziemlich einfach gestaltet, der zweite Teil anspruchsvoller und mit reichlich viel Text beladen. Daraus ist den Damen und Herren des BIFIE, welche die Beispiele zusammengestellt hatten, keinerlei Vorwurf zu machen. Im Gegenteil: Es ist ihnen zu attestieren, dass sie sich redlich bemüht haben, im Rahmen der Vorgaben der Zentralmatura – Vorgaben, die ihrerseits mit Fug und Recht in vielerlei Aspekten fundierter Kritik zu unterwerfen sind – das Optimum herauszuholen. Weitgehend ist ihnen dies gelungen.

Eine absurde Aufgabe

Weitgehend, aber nicht durchwegs. Eine der Aufgaben sei herausgegriffen, die so nie hätte gestellt werden dürfen. Paradigmatisch führt diese unsinnige Aufgabe die Fallstricke des standardisierten und kompetenzorientierten Prüfens vor Augen. Es handelt sich um Aufgabe 3 der Teil-1-Aufgaben. Diese besitzt die Überschrift „Gehälter“ und lautet:

Die Gehälter der 8 Mitarbeiter/innen eines Kleinunternehmens sind im Vektor Vektor dargestellt.

Aufgabenstellung:

Geben Sie an, was der Ausdruck (das Skalarprodukt) Vektor2 in diesem Kontext bedeutet!

Zunächst ist festzuhalten, dass einer Person, die weder etwas mit Tabellenkalkulation noch mit Mathematik zu tun hat, diese Aufgabenstellung schon allein aufgrund ihres bizarren Satzbildes befremdend anmutet. Mit dem in der Bevölkerung weit verbreiteten Empfinden „Gott sei Dank muss ich mich nie mehr in meinem Leben damit auseinandersetzen“, wird sie diese Aufgabe so schnell unbearbeitet beiseitelegen, wie sie nur kann. Dabei läuft diese Aufgabe auf nichts anderes hinaus als auf die folgende Aufgabe:

Es bezeichnen G1, G2, G3, G4, G5, G6, G7, G8 die Gehälter der acht in einem Kleinunternehmen beschäftigten Personen.

Aufgabenstellung:

Was bezeichnet dann der Ausdruck (die Summe) G1 + G2 + G3 + G4 + G5 + G6 + G7 + G8 ?

Jetzt ist die inhaltlich völlig identische Aufgabe plötzlich so einfach geworden, dass sich jede und jeder – auch wenn ihr oder ihm die Mathematik seit Jahrzehnten gänzlich fremd geworden ist – an den Kopf greift und fragt, ob dies tatsächlich ein Prüfungsbeispiel zur Matura von 17-, 18- oder 19-jährigen jungen Menschen sei. Denn die korrekte Antwort, dass es sich bei dieser Summe um das Geld handelt, welches das Unternehmen den Beschäftigten zahlt, könnte mit Sicherheit jedes zwölfjährige Kind geben. Und auch das Kind würde skeptisch fragen, warum ihm eine so triviale Aufgabe gestellt werde.

Doch eben diese Aufgabe wurde in diesem Jahr nicht Zwölfjährigen, sondern allen Ernstes den Maturantinnen und Maturanten zur Bestätigung ihrer Hochschulreife gestellt.

Hanebüchene Replik der Kompetenzexperten

Selbstverständlich glauben die Aufgabensteller darauf replizieren zu können: So, wie sie die Aufgabe formuliert hätten, kämen die erst in der Oberstufe eingeführten Begriffe „Vektor“ und „Skalarprodukt“ zum Tragen. Man überprüfe bei diesem Beispiel die Kompetenz der Prüflinge, mit diesen abstrakten Konzepten umgehen zu können.

Doch aus zwei Gründen ist diese Replik in aller Schärfe zurückzuweisen. Der erste dieser beiden Gründe ist grundsätzlicher Natur (und kann auch von Leserinnen und Lesern nachvollzogen werden, die dem Fach Mathematik völlig fernstehen). Der zweite Grund ist mathematischer Natur (und ist für die mathematisch versierten Leserinnen und Leser als Anhang zu diesem Artikel erläutert).

Der erste Grund, warum die Replik der Aufgabensteller in die Leere läuft, lautet: Bei dieser Aufgabe wird genau jene Eigenschaft der Mathematik konterkariert, der zufolge diese Wissenschaft überhaupt betrieben und unterrichtet wird.

Mathematik dient nämlich vorrangig dazu, einige – nicht alle, aber einige – der Rätsel und Fragen zu lösen, denen wir in der Welt begegnen, indem die Mathematik durch geschicktes Definieren, durch Zergliedern in logisch klare Schritte, durch Gestalten einsichtiger Modelle, kurz: mit der ihr eigenen Methodik das Schwierige einfach und das Komplexe verständlich macht. Ziel und Zweck der Mathematik ist, verstehen zu können. Wenn diese Devise nicht von der ersten Klasse Volksschule an bis hin zum Beenden der Mittelschule und zur Matura das Um und Auf des Mathematikunterrichts bildet, verfehlte dieser seine Mission. Und die Aufgabensteller der hier zitierten Aufgabe „Gehälter“ sündigten abgrundtief schwer dagegen. Denn sie führen unnötig abstrakte Begriffe wie „Vektor“ und „Skalarprodukt“ ein, um etwas geradezu lächerlich Simples mit dem Brimborium des Komplexen zu ummanteln. Sie machen künstlich aus dem Einfachen das scheinbar Schwere und verstoßen damit gegen all das, was Mathematik wertvoll macht.

Der zweite Grund, warum die Replik der Aufgabensteller in die Leere läuft, lautet: Bei dieser Verkomplizierung der Aufgabe handelt es sich um puren mathematischen Nonsens, um einen Widersinn in Reinkultur.

Im Anhang an diesem Artikel findet man die ausführliche Erläuterung dieses zweiten Grundes.

Grenzenlose Inkompetenz

All das ist ärgerlich genug. Schlimmer aber noch ist, dass die Kompetenzexperten des BIFIE schon seit Jahren von Einsprüchen geschulter Mathematikerinnen und Mathematiker aus den Schulen und den Universitäten gegen Aufgaben dieser Art wussten. Es ist schier unverständlich, warum die Aufgabensteller, wenn schon nicht aus Einsicht, so doch wenigstens aus Vorsicht, nicht auf das Stellen dieser Aufgabe verzichtet hatten. Es kommt sogar noch dicker: In einer Besprechung über die diesjährigen Beispiele der schriftlichen Matura aus Mathematik stellte eine der „Fachkräfte“ aus dem Kreis der Aufgabenersteller des BIFIE in blauäugiger Unbefangenheit fest, dass man sich im Kreis der Kompetenzexperten ohnehin nicht sicher gewesen sei, ob die ominöse Aufgabe 3 der Teil-1-Aufgaben für die Matura geeignet sei. Man habe aber von Seiten des BIFIE „den Fachmathematikern“ dieses Beispiel vorgelegt, und „die ÖMG“ (gemeint ist die Österreichische Mathematische Gesellschaft) habe die Aufgabe für gut befunden.

Nicht nur, dass diese „Fachkraft“ und ihre Kolleginnen und Kollegen angesichts dieses Eingeständnisses ihr Fachwissen – so sie dieses redlich erworben hatten – anscheinend in eine eherne Truhe sperrten und den Schlüssel wegwarfen, sondern auch dass sie in einer Art autoritätshörig sind, wie man es nur von Duckmäusern diktatorischer Regime gewohnt ist, raubt einem den Atem: „Die ÖMG hat es für gut befunden“, das klingt genauso wie: „der Genosse Stalin hat es für gut befunden“. Noch dazu „die ÖMG“ – kein Name einer Person wird genannt, die man wenigstens im Nachhinein als mathematischen Schwachkopf entlarven könnte, sondern „die ÖMG“, gleichsam als ob diese der KGB einer mathematischen Nomenklatura sei.

Solche Kompetenzexperten sollten eigentlich dafür geradestehen, dass die jungen Damen und Herren, die an unseren Schulen maturieren, zum Erwerb wertvollen Wissens, zum eigenständigen Denken, zum kritischen Nachfragen angehalten werden. Just diese Tugenden, die sie von ihren Prüflingen einfordern, gehen den Kompetenzexperten des BIFIE ab, sonst hätten sie nie die Aufgabe 3 zugelassen.

Anhang

Das in der Aufgabe angesprochene Skalarprodukt – in der Fachmathematik bevorzugt „inneres Produkt“ genannt – gibt es nur in euklidischen Vektorräumen und ist zu dem Zweck definiert, die Länge eines Vektors und den Betrag des Winkels zwischen zwei Vektoren festlegen zu können. Diese geometrisch motivierten Begriffe sind auch in abstrakten Vektorräumen wertvoll: Obwohl man sich darunter nichts Anschauliches vorstellen kann, ist es zum Beispiel im Raum aller über R definierten, stetigen und 2π-periodischen Funktionen sinnvoll zu behaupten, dass die in ihm liegenden Funktionen f und g, welche durch f(x) = sin x und durch g(x) = cos x gegeben sind, einen rechten Winkel einschließen. Aber über dem vom Beispiel genannten Raum, bei dem die Vektoren die aus den acht Gehältern G1, G2, …, G8 bestehenden Spalten sind, ist die Einführung eines Skalarprodukts absurd. Noch dazu, wo die aus den acht Zahlen 1 bestehende Spalte – diese Einser bezeichnen natürlich keine Gehälter – gar kein Vektor dieses Raumes ist! Der von den Aufgabenstellern als „Skalarprodukt“ bezeichnete Ausdruck kann folglich gar kein Skalarprodukt sein, denn die beiden in ihm auftretenden „Faktoren“ stammen gar nicht aus dem gleichen Vektorraum.

Nun mag darauf der Einwand ertönen, in einem abstrakten Sinn sind die beiden Spalten dem einen Vektorraum R8 aller Spalten, bestehend aus acht reellen Größen, entnommen, und in diesem Raum kann man sehr wohl durch Addition der Produkte der jeweiligen Spalteneintragungen eine Zuordnung definieren, welche die Eigenschaften eines Skalarproduktes besitzt (nämlich bilinear, symmetrisch und positiv definit zu sein). Das ist richtig. Aber nimmt man diesen Einwand ernst, muss man sich auf den Standpunkt stellen, dass nun nicht mehr von Gehältern, sondern von abstrakten reellen Größen die Rede ist. Man muss sich mit anderen Worten vom Kontext der Aufgabe lösen. Doch genau das wollen die Aufgabensteller nicht! Denn sie fragen, was der Ausdruck (das Skalarprodukt) in diesem Kontext bedeutet. Die einzig richtige Antwort, die darauf zu geben wäre, lautet: In diesem Kontext bedeutet der Ausdruck (das Skalarprodukt) gar nichts, denn es gibt dieses Skalarprodukt nicht. Es ist zu bezweifeln, dass diese lapidare, aber einzig mögliche Antwort auf die Aufgabenstellung der obskuren Aufgabe 3 von den Aufgabenstellern als richtige Lösung gewertet wird.

Nun mag man entgegnen, dass der in der Aufgabe 3 angesprochene Rechenprozess durchaus sinnvoll sei. Das stimmt durchaus. Nur muss man ihn in der richtigen Weise analysieren: Der Einfachheit halber nehmen wir an, es gäbe im Betrieb drei Gehaltsstufen, in der ersten beziehen die Angestellten das Gehalt u, in der zweiten das Gehalt v und in der dritten das Gehalt w. Beschäftigt der Betrieb x Angestellte der ersten Gehaltsstufe, y Angestellte der zweiten Gehaltsstufe und z Angestellte der dritten Gehaltsstufe, teilt uns der Ausdruck ux + vy + wz mit, welches Geld der Betrieb insgesamt seinen Angestellten zahlt. Dieser Ausdruck ist aber kein Skalarprodukt, wie es uns und sicher auch sich selbst die Aufgabensteller weismachen wollen, sondern ein Matrizenprodukt: die aus den Gehältern u, v, w der Gehaltsstufen gebildete Zeile U wird mit der aus den Anzahlen x, y, z gebildeten Spalte X multipliziert. Das Ergebnis UX stimmt mit dem oben genannten Ausdruck ux + vy + wz überein.

Wer als letzte Ausflucht meint, die hier monierte Unterscheidung zwischen einem Skalarprodukt und einem Matrizenprodukt sei Haarspalterei eines allzu pedantischen Mathematikers, irrt. Dies zeigt sich, sobald man das eben erläuterte Beispiel verallgemeinert: Wenn der Betrieb eine Änderung der Gehälter vornimmt, kann man die Zeile U durch die zweizeilige Matrix V ersetzen, in deren erster Zeile die alten Gehälter u, v, w der Gehaltsstufen und in deren zweiter Zeile die neuen Gehälter u*, v*, w* der Gehaltsstufen stehen. Und wenn der Betrieb zwei Filialen besitzt, kann man die Spalte X durch die zweispaltige Matrix Y ersetzen, in deren erster Spalte, nach den Gehaltstufen geordnet, die Anzahlen x1, y1, z1 der Angestellten in der ersten Filiale und in deren zweiter Spalte, nach den Gehaltstufen geordnet, die Anzahlen x2, y2, z2 der Angestellten in der zweiten Filiale stehen. „In diesem Kontext“, wenn man ein letztes Mal die Diktion der Ersteller der Aufgabe 3 bemüht, hat die Bildung eines „Skalarproduktes“ von V mit Y wirklich keinen vernünftigen Sinn (und man könnte dieses „Skalarprodukt“ nicht einmal bilden, wenn es nicht zwei, sondern nur eine Filiale oder mehr als zwei Filialen gäbe). Das Matrizenprodukt VY hingegen existiert sehr wohl, auch unabhängig davon, wie viele Filialen der Betrieb besitzt. Es ist im vorliegenden Beispiel mit zwei Filialen eine 2×2-Matrix, deren Eintragung links oben zum Beispiel die Summe ux1 + vy1 + wz1 der Zahlungen an die Angestellten der ersten Filiale nach dem alten Gehaltsschema nennt, oder deren Eintragung rechts unten die Summe u*x2 + v*y2 + w*z2 der Zahlungen an die Angestellten der zweiten Filiale nach dem neuen Gehaltsschema nennt.

Die Aufgabenersteller der Mathematikbeispiele für die schriftliche Matura aus Mathematik sollten den Unterschied zwischen Skalar- und Matrizenprodukt im ersten Jahr ihres Mathematikstudiums gelernt und so gut verstanden haben, dass ihnen der schwere Lapsus, die Aufgabe 3 zu stellen, nicht im Traum einfällt. Dass sie diese mathematisch unsinnige Aufgabe trotzdem gestellt haben, demaskiert die fachliche Inkompetenz der Kompetenzexperten.

von Professor Rudolf Taschner
Institut für Analysis und Scientific Computing
Technische Universität Wien